Konu İçeriği

Çarpanlar ve katlar konusu, matematikte sayılarla ilgili temel işlemleri anlamamızı sağlayan önemli bir konudur. Bu ünitede öğreneceğin ana başlıklar şunlar:

Pozitif tam sayıların çarpanları, asal sayılar ve asal çarpanlara ayırma yöntemleri konunun temelini oluşturur. Bu kavramları anladıktan sonra EBOB ve EKOK hesaplamalarını kolayca yapabilirsin.

💡 Önemli Not: Bu konu LGS'de hem temel sorular hem de günlük hayat problemleri olarak karşına çıkar!

Pozitif Tam Sayıların Çarpanları

Bir pozitif tam sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölen tüm pozitif tam sayılardır. Yani herhangi bir sayı, iki pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilir.

36 sayısını düşünelim: 36 = 1×36 = 2×18 = 3×12 = 4×9 = 6×6 şeklinde yazabiliriz. Bu durumda 36'nın çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36'dır.

Çarpan bulmanın pratik yolu: Bir sayının çarpanlarını bulmak için o sayıyı 1'den başlayarak kendisine kadar olan sayılara böl. Kalansız bölünen sayılar çarpanıdır.

💡 İpucu: Her sayının en az iki çarpanı vardır: 1 ve kendisi!

Asal Sayılar

Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. Matematik dünyasının yapı taşları gibi düşünebilirsin!

100'e kadar olan asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97'dir.

Unutma: En küçük asal sayı 2'dir ve tek çift asal sayıdır. 1 sayısı asal değildir çünkü sadece kendisine bölünür.

💡 Ezber Tüyo: İlk 10 asal sayıyı ezberle: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Asal Çarpanlara Ayırma

Bir doğal sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Bu işlemi iki farklı yöntemle yapabilirsin.

1. Yöntem - Asal Çarpanlar Algoritması: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak art arda bölersin.

2. Yöntem - Çarpan Ağacı: Sayıyı herhangi iki çarpanına ayırıp, her bir çarpanı tekrar bölersin. Bu işlemi tüm çarpanlar asal sayı olana kadar sürdürürsün.

💡 Pratik Bilgi: Hangi yöntemi kullanırsan kullan sonuç aynı olur!

Örnek Problem 1

Aslı Hanım 120 kg domatesi eşit miktarlarda torbalara paylaştırmak istiyor. Her torbadaki domates miktarının tam sayı olması gerekiyor.

Bu problemi çözmek için 120 sayısının çarpanlarını bulmamız gerekir. 120'nin çarpanları torbaların kaçar kilogram olabileceğini gösterir.

120'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 kg olabilir.

💡 Gerçek Hayat: Çarpanlar konusu günlük hayatta eşit paylaştırma problemlerinde sıkça kullanılır!

Örnek Problem 2

24, 128, 60 ve 81 sayılarından hangisinin asal çarpan sayısı en fazladır? Bu tür sorularda her sayıyı asal çarpanlarına ayırmalısın.

24 = 2³ × 3 → Asal çarpanları: 2, 3 (2 farklı asal çarpan) 128 = 2⁷ → Asal çarpanı: 2 (1 farklı asal çarpan) 60 = 2² × 3 × 5 → Asal çarpanları: 2, 3, 5 (3 farklı asal çarpan) 81 = 3⁴ → Asal çarpanı: 3 (1 farklı asal çarpan)

Cevap: 60 sayısının asal çarpan sayısı en fazladır.

💡 Dikkat: Farklı asal çarpan sayısını soruyorsa üsleri saymıyoruz!

Örnek Problem 3

x, y, z birbirinden farklı asal sayılar ve A = x².y³.z ise A sayısı en az kaçtır?

En küçük sonucu bulmak için en küçük asal sayıları kullanmalısın. En küçük üç farklı asal sayı: 2, 3, 5'tir.

En küçük değer için en büyük üssü en küçük asal sayıya vermeliyiz. A = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360

💡 Strateji: Minimum değer için büyük üsleri küçük sayılara ver!

LGS Tarzi Soru 1

Selin cumartesi günleri günde 1 kez, pazar günleri günde 2 kez egzersiz yapıyor. Egzersiz süresi o günün asal çarpan sayısına eşit.

Temmuz ayının cumartesi günleri: 3, 10, 17, 24, 31 Temmuz ayının pazar günleri: 4, 11, 18, 25

Her günün asal çarpan sayısını bulup egzersiz sayısıyla çarpmalısın. Sonucu topladığında Selin'in toplam egzersiz saatini bulursun.

💡 Çözüm İpucu: Önce hangi günlerin cumartesi/pazar olduğunu belirle, sonra asal çarpan sayılarını hesapla!

LGS Tarzi Soru 2

35 adet fidan, 20-25 numaralı kaplara dikilecek. Her kaba, kap numarasının pozitif tam sayı çarpanlarının sayısı kadar fidan dikilir.

20'nin çarpan sayısı: 6 adet 21'in çarpan sayısı: 4 adet
22'nin çarpan sayısı: 4 adet 23'ün çarpan sayısı: 2 adet 24'ün çarpan sayısı: 8 adet 25'in çarpan sayısı: 3 adet

Toplam dikilen fidan: 6+4+4+2+8+3 = 27 adet. Kalan fidan: 35-27 = 8 adet.

💡 Hesaplama: Çarpan sayısını bulmak için sistematik git!