Önerme ve Doğruluk Değerleri

Önerme, kesin olarak doğru ya da yanlış olduğu bilinen ifadelerdir. Genellikle "p" gibi harflerle gösterilir. Bir önermenin sadece bir doğruluk değeri vardır.

Doğru önermeler "D" veya "1" ile gösterilirken, yanlış önermeler "Y" veya "0" ile gösterilir. Örneğin, "Bir senede 12 ay vardır" önermesi doğrudur (1), "Türkiye'nin başkenti Sivas'tır" önermesi ise yanlıştır (0).

Önermelerin sayısı arttıkça, doğruluk durumlarının sayısı da üstel olarak artar. n tane önerme için 2ⁿ farklı doğruluk durumu vardır. Mesela 1 önerme için 2¹=2, 2 önerme için 2²=4, 3 önerme için 2³=8 farklı doğruluk durumu oluşur.

Unutma! Eğer bir problemde n+2 tane önermenin 64 farklı doğruluk değeri varsa, 2^$n+2$=64 denklemini çözerek n değerini bulabilirsin.

Değil ve Bileşik Önermeler

Bir önermenin hükmünün değişmesiyle oluşan yeni önermeye "değili" veya "olumsuzu" denir ve p' ile gösterilir. İki veya daha fazla önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşan önermelere ise "bileşik önerme" denir.

Mantıkta kullanılan temel bağlaçlar şunlardır: "Ve" (∧), "Veya" (∨), "İse" (→), "Ancak ve Ancak" (↔), "Ya da" (∨).

"Ve" bağlacı (∧) ile birleştirilen iki önerme, yalnızca ikisi de doğruysa doğru sonuç verir. Diğer tüm durumlarda sonuç yanlıştır.

"Veya" bağlacı (∨) ile birleştirilen iki önerme, yalnızca ikisi de yanlışsa yanlış sonuç verir. Diğer tüm durumlarda sonuç doğrudur.

İpucu: Bileşik bir önermenin değilini alırken, De Morgan kuralları işine yarar: (p∨q)' → p'∧q' ve (p∧q)' → p'∨q'

Önerme Bağlaçları ve Özellikleri

"Ya da" bağlacı (⊕) özel bir bağlaçtır. Burada, önermeler farklı doğruluk değerine sahipse sonuç doğru (1), aynı doğruluk değerine sahiplerse sonuç yanlıştır (0).

"İse" bağlacında (→) sadece "1→0" durumunda sonuç yanlıştır (0). Diğer tüm durumlarda sonuç doğrudur (1). Bu bağlaç "Veya" bağlacına dönüştürülebilir: p→q = p'∨q

Bileşik önermelerde önemli özellikler vardır:

• Birleşme Özelliği: p∨(q∨r) = (p∨q)∨r ve p∧(q∧r) = (p∧q)∧r
• Dağılma Özelliği: p∨(q∧r) = (p∨q)∧(p∨r) ve p∧(q∨r) = (p∧q)∨(p∧r)

Bir bileşik önermenin değilinin değili, o önermenin kendisidir: (p')' = p

Dikkat! "İse" bağlacında (→) sadece "öncül doğru, sonuç yanlış" olduğunda önerme yanlıştır. Bu, bileşik önermelerde en çok karıştırılan konulardan biridir.

Karşıt Önermeler ve Ancak ve Ancak Bağlacı

Bir p→q önermesi için farklı dönüşümler vardır:

• q→p: Bu önermenin karşıtıdır
• p'→q': Bu önermenin tersidir
• q'→p': Bu önermenin karşıt tersidir

"Ancak ve ancak" bağlacında (↔) aynı doğruluk değerine sahip önermeler doğru (1) sonucunu verirken, farklı doğruluk değerine sahip önermeler yanlış (0) sonucunu verir.

"Ancak ve ancak" bağlacı, "ise" bağlacına dönüştürülebilir: p↔q = (p→q)∧(q→p)

Mantıkta özellikle dikkat edilmesi gereken iki önemli kavram vardır:

• ∃: "En az bir" anlamına gelir
• ∀: "Her" anlamına gelir

Hatırlatma: "Ancak ve ancak" bağlacında önermeler aynı değere sahipse sonuç doğru, farklıysa yanlıştır. Bu bağlacı çift yönlü ok (↔) ile gösteririz.