Önerme ve Doğruluk Değerleri

Önermeler, doğru ya da yanlış olabilen kesin yargı bildiren ifadelerdir. Soru, ünlem ve emir cümleleri önerme değildir. Önermeler genellikle p, q, r, s gibi harflerle gösterilir.

Bir önerme doğruysa değeri 1, yanlışsa değeri 0'dır. İki önerme için toplam 4 olası durum vardır. Genel olarak n sayıda önerme için 2ⁿ adet doğruluk değeri tablosu oluşturulabilir.

Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önerme denir (p ≡ q). Bir önermenin değili, o önermenin tersini ifade eder. Örneğin, p doğruysa (1), değili yanlıştır (0). Bir önermenin değilinin değili kendisidir: [$p$']' = p.

Dikkat! Eşitsizliklerin değilleri çok önemlidir: = işaretinin değili ≠, > işaretinin değili ≤, < işaretinin değili ≥ şeklindedir. "Armut meyvedir" önermesinin değili "Armut meyve değildir" olur.

Ve ve Veya Bağlaçları

Önermeleri birbirine bağlamak için "ve" (∧) ve "veya" (∨) bağlaçları kullanılır. "Ve" bağlacını çarpma işlemi, "veya" bağlacını toplama işlemi gibi düşünebilirsiniz.

"Ve" bağlacı (p∧q) ile bağlanan iki önermenin her ikisi de doğruysa sonuç doğru, diğer tüm durumlarda yanlıştır. "Veya" bağlacı (p∨q) ile bağlanan önermelerden en az biri doğruysa sonuç doğru, ikisi de yanlışsa sonuç yanlıştır.

Bu bağlaçların önemli özellikleri vardır:

Tek kuvvet özelliği: p∧p = p ve p∨p = p Değişme özelliği: p∧q = q∧p ve p∨q = q∨p Birleşme özelliği: p∧(q∧r) = (p∧q)∧r ve p∨(q∨r) = (p∨q)∨r Dağılma özelliği: p∧(q∨r) = (p∧q)∨(p∧r) ve p∨(q∧r) = (p∨q)∧(p∨r)

İpucu: Bağlaçları anlamak için tabloları ezberlemek yerine, günlük hayattan örneklerle düşünebilirsiniz. "Ve" bağlacı tüm koşulların sağlanmasını ister, "veya" bağlacı ise en az bir koşulun sağlanmasını ister.

Önemli Bağlaç Özellikleri ve Ya Da Bağlacı

Bağlaçlarda bilmeniz gereken bazı önemli durumlar:

• p∧1 = p (Bir şey ve doğru = kendisi)
• p∧0 = 0 (Bir şey ve yanlış = yanlış)
• p∧p' = 0 (Bir şey ve değili = yanlış)
• p∨1 = 1 (Bir şey veya doğru = doğru)
• p∨0 = p (Bir şey veya yanlış = kendisi)
• p∨p' = 1 (Bir şey veya değili = doğru)

De Morgan Kuralları çok önemlidir:

• (p∧q)' = p'∨q' ("Ve" bağlacının değili, değillerin "veya"sı olur)
• (p∨q)' = p'∧q' ("Veya" bağlacının değili, değillerin "ve"si olur)

Ya da bağlacı (⊕), önermelerin değerleri farklıysa doğru, aynıysa yanlış sonuç verir. Bu bağlacın özellikleri:

• Değişme özelliği: p⊕q = q⊕p
• p⊕p = 0 (Aynı şeyin ya da'sı her zaman yanlıştır)
• p⊕p' = 1 (Bir şey ve değilinin ya da'sı her zaman doğrudur)
• p⊕1 = p' (Bir şey ya da doğru, o şeyin değilidir)
• p⊕0 = p (Bir şey ya da yanlış, o şeyin kendisidir)

Kolay hatırlatma: "Ya da" bağlacını XOR (exclusive OR) olarak da düşünebilirsiniz. Sadece biri doğruysa sonuç doğru olur!

İse Bağlacı

İse bağlacı (p⇒q), "p ise q" şeklinde okunur ve p doğru q yanlış olduğunda yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur. p⇒q'nun değeri 1 olduğunda buna gerektirme denir.

Bu bağlaçla ilgili bilmeniz gereken önemli durumlar:

• p⇒p ≡ 1 (Bir şey kendisini her zaman gerektirir)
• p⇒0 ≡ p' (Yanlış sonuç için, koşulun değili doğru olmalıdır)
• p⇒1 ≡ 1 (Doğru sonuca herhangi bir koşul her zaman ulaşır)
• 0⇒p ≡ 1 (Yanlış koşuldan her sonuca ulaşılabilir)
• 1⇒p ≡ p (Doğru koşuldan sonuç, sonucun kendisidir)
• p⇒q ≡ p'∨q (İse bağlacı, koşulun değili veya sonuç şeklinde de yazılabilir)

İse bağlacının üç özel durumu vardır:

1. Karşıtı: q⇒p
2. Tersi: p'⇒q'
3. Karşıt tersi: q'⇒p'

p⇒q ifadesinin olumsuzu (değili) p∧q' şeklinde yazılır.

Püf nokta: İse bağlacını günlük hayatta kullanılan koşul cümleleri gibi düşünün. "Yağmur yağarsa şemsiye alırım" önermesinin yanlış olması için sadece yağmur yağıp şemsiye almamam gerekir.

Ancak ve Ancak ve Açık Önermeler

Ancak ve ancak bağlacı (p↔q), iki önerme aynı doğruluk değerine sahipse doğru, farklıysa yanlıştır. Bu bağlaca çift gerektirme de denir.

Bu bağlaçla ilgili önemli özellikler:

• p↔q ≡ (p⇒q)∧(q⇒p) (İki yönlü gerektirme demektir)
• (p⇒q)' ≡ p∧q' (Bir gerektirmenin değili, koşul ve sonucun değilinin ve'sidir)
• p↔p ≡ 1 (Bir şey kendisine her zaman denktir)
• p↔p' ≡ 0 (Bir şey değiline asla denk olamaz)
• p↔1 ≡ p (Doğruya denk olan şey kendisidir)
• p↔0 ≡ p' (Yanlışa denk olan şey değilidir)

Açık önerme, içinde en az bir değişken bulunan ve doğru veya yanlış yargı bildiren ifadelerdir. Eğer a sayısı p$x$ açık önermesini sağlıyorsa p$a$ ≡ 1, sağlamıyorsa p$a$ ≡ 0 olur.

Niceleyiciler açık önermeleri kullanırken çok işimize yarar:

• ∀ (evrensel niceleyici): "Her" anlamına gelir
• ∃ (varlıksal niceleyici): "Bazı" veya "en az bir" anlamına gelir

Pratik uygulama: "Tüm insanlar ölümlüdür" önermesi ∀x(İnsan$x$→Ölümlü$x$) şeklinde yazılabilir. "Bazı kuşlar uçamaz" önermesi ise ∃x(Kuş$x$∧Uçamaz$x$) şeklinde gösterilir.