11. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Özeti

Açı Ölçüleri ve Dönüşümler

Açıları ölçmek için kullanılan iki temel birim vardır: derece ve radyan. Tam bir daire 360° veya 2π radyandır. Bu iki ölçü birimi arasında dönüşüm yapabilmek trigonometride çok önemlidir.

Açıları ifade ederken, 0° ile 360° arasında gösterebiliriz. Ancak herhangi bir açıyı bu aralığa indirgeyebiliriz. Örneğin, 1862° açısını temel aralığa indirmek için 1862 ÷ 360 = 5 tam tur ve 62° elde ederiz.

Negatif açılar veya büyük açılar için de benzer dönüşümler yapılabilir. Örneğin, 298° açısı, 360° - 62° hesaplanarak bulunur.

💡 İpucu: Açıları radyan cinsinden ifade ederken, π'yi kullanmak işlemleri kolaylaştırır. Örneğin, 180° = π radyan, 90° = π/2 radyan olarak gösterilebilir.

Birim Çember ve Trigonometrik Oranlar

Birim çember, merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Birim çember üzerindeki herhangi bir (x,y) noktası için x² + y² = 1 eşitliği geçerlidir.

Trigonometrik fonksiyonlar arasında temel ilişkiler vardır. En temel olanı sin²α + cos²α = 1 özdeşliğidir. Ayrıca, tanα · cotα = 1 olduğunu unutmamalısın.

Trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları da önemlidir. Örneğin, -1 ≤ sinα ≤ 1 ve -1 ≤ cosα ≤ 1 iken, tanα ve cotα fonksiyonlarının değer aralıkları sınırsızdır.

💡 Hatırla: Tamamlayıcı açılar (toplamları 90° olan açılar) için sin ve cos, tan ve cot değerleri birbirine dönüşür. Örneğin, sinA = cosB ve tanA = cotB $A+B=90° ise$.

Özel Açılar ve Çeyrekler

Birim çemberde açının bulunduğu çeyreğe göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri değişir. I. çeyrekte $0°-90°$ tüm değerler pozitifken, diğer çeyreklerde farklı kombinasyonlarda negatif değerler alırlar.

Özel açıların trigonometrik değerlerini bilmek problem çözümünde büyük kolaylık sağlar:

• sin30° = cos60° = 1/2
• sin45° = cos45° = 1/√2 = √2/2
• sin60° = cos30° = √3/2
• tan45° = cot45° = 1
• tan30° = cot60° = 1/√3
• tan60° = cot30° = √3

💡 Pratik Bilgi: Trigonometrik fonksiyonların tanımlarını üçgendeki kenarlar yardımıyla hatırlayabilirsin. Örneğin, sinα = karşı / hipotenüs, cosα = komşu / hipotenüs, tanα = karşı / komşu, cotα = komşu / karşı.

Açıların İndirgenmesi

Herhangi bir açının trigonometrik değerini bulmak için, bu açıyı 0°-90° aralığındaki bir açıya indirgeyebiliriz. Bu işleme açı indirgeme denir.

Açı indirgeme formülleri aşağıdaki gibidir:

• sin$180° + α$ = -sinα
• sin$180° - α$ = sinα
• cos$180° + α$ = -cosα
• cos$180° - α$ = -cosα
• tan$180° + α$ = tanα
• tan$180° - α$ = -tanα

Örneğin, tan(120°) değerini bulmak istediğimizde, tan(120°) = -cot(30°) = -√3 şeklinde hesaplayabiliriz.

💡 Unutma: 90°, 180°, 270° ve 360° özel açı değerleridir ve bunlara yakın açıların değerlerini hesaplarken referans noktaları olarak kullanılırlar.

Özel Formüller ve Negatif Açılar

Negatif açılar için trigonometrik değerler şu şekilde hesaplanır:

• cos$-α$ = cosα (çift fonksiyon)
• sin$-α$ = -sinα (tek fonksiyon)
• tan$-α$ = -tanα (tek fonksiyon)
• cot$-α$ = -cotα (tek fonksiyon)

Trigonometrik değerlerin sıralanması açının büyüklüğüne göre değişir:

• 0° < α < 45° için: sinα < tanα < 1
• 45° < α < 90° için: 1 < tanα < sinα

Açı dönüşümleri yaparken şu formülleri kullanabiliriz:

• x = sin$180° - α$ ise x = sinα
• x = cos$270° + α$ ise x = -sinα
• x = sin(α) ise α = sin⁻¹$x$

💡 Püf Nokta: Bir trigonometrik ifadenin değerini bulmakta zorlandığında, o açıyı bildiğin özel bir açıya (30°, 45°, 60° gibi) dönüştürmeye çalış.

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Sinüs Teoremi, üçgenlerde açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiyi verir: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R: üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı)

Sinüs teoremi, üçgenin alanını hesaplamak için de kullanılabilir: Alan(ABC) = $1/2$ · a · b · sinC = $1/2$ · b · c · sinA = $1/2$ · a · c · sinB

Kosinüs Teoremi ise herhangi bir üçgende kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi verir: a² = b² + c² - 2bc·cosA b² = a² + c² - 2ac·cosB c² = a² + b² - 2ab·cosC

💡 Önemli: Sinüs ve Kosinüs teoremleri, dik olmayan üçgenlerdeki problemleri çözmek için çok kullanışlıdır. Dik üçgenlerde Pisagor teoremi yeterlidir $c² = a² + b²$.