ÇARPANLAR VE KATLAR

Pozitif tam sayıların çarpanları, o sayıyı bölen sayılardır. Bir sayı, iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir ve bu sayıların her birine çarpan denir.

Örneğin, 24 sayısının çarpanlarını çarpan ağacıyla bulalım:

           24
           /\
          /  \
        12    2
        /\
       /  \
      6    2
     /\
    /  \
   3    2

24 sayısının çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür.

Asal Çarpanlar: 1'den büyük, kendisi ve 1 dışında böleni olmayan sayılardır (2, 3, 5, 7, 11...). Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için asal çarpan algoritması kullanılır.

Örnek: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

72 = 2³ × 3² şeklinde yazılır.

İpucu: Asal çarpanları bulmak, EBOB ve EKOK hesaplamalarında çok önemlidir!

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)

İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB denir. EBOB'u bulmak için iki yöntem kullanabiliriz:

1. Yol: Sayıların bölenlerini bulup ortak olanların en büyüğünü seçmek.

2. Yol: Asal çarpanlar algoritması kullanmak (daha pratik).

Örnek: 18 ve 24 sayılarının EBOB'unu bulalım.

18  24  | 2 (Her iki sayıyı bölen asal sayılar işaretlenir)
9   12  | 2
9   6   | 2
9   3   | 3
3   1   | 3
1   1   |

EBOB(18,24) = 2 × 3 = 6

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)

İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir.

Örnek: 12 ve 18 sayılarının EKOK'unu bulalım.

12  18  | 2
6   9   | 2
3   9   | 3
1   3   | 3
1   1   |

EKOK(12,18) = 2² × 3² = 36

Not: A × B = EKOK(A,B) × EBOB(A,B)

Aralarında Asal Sayılar: EBOB'u 1 olan sayılara denir. Bu sayıların EKOK'u çarpımlarına eşittir.

ÜSLÜ SAYILAR

Negatif Üslü İfadeler: n sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ şeklinde yazılır.

Örnek: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Üslerin Çarpımı: $(x^m)^n = x^{m \times n}$

Örnek: $(2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}$

Taban Aynıysa: $a^m \times a^n = a^{m+n}$

Üs Aynıysa: $a^x \times b^x = (a \times b)^x$

Bölme İşlemi: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Negatif Sayıların Üssü:

• Çift üs → sonuç pozitif
• Tek üs → sonuç negatif

Örnek: $(-3)^4 = 81$ ve $(-3)^5 = -243$

Bilimsel Gösterim: Çok büyük veya çok küçük sayıların $a \times 10^n$ şeklinde yazılması.

• $a$ sayısı için $1 \leq |a| < 10$ olmalıdır.
• $n$ bir tam sayıdır.

Püf Noktası: Bilimsel gösterimde virgül kaç basamak sağa kaydıysa, üs o kadar pozitif; sola kaydıysa o kadar negatif olur!

Örnek: 300.000.000.000 = $3 \times 10^{11}$ Örnek: 0,0000000003 = $3 \times 10^{-10}$

KAREKÖKLÜ İFADELER

Karekök: Bir sayının karesini geri alma işlemidir. $\sqrt{x}$ şeklinde gösterilir.

Önemli Not: Negatif sayıların karekökü alınamaz.

Tam Kare Sayılar: Karekökü tam sayı olan doğal sayılardır. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...

Tam Kare Olmayan Sayıların Yaklaşık Değeri: $\sqrt{8}$ değerini bulmak için:

1. $8$'in hangi iki tam kare arasında olduğunu buluruz: $4 < 8 < 9$
2. Dolayısıyla $2 < \sqrt{8} < 3$
3. Daha hassas bir tahmin için: $\sqrt{8} \approx 2 + \frac{8-4}{9-4} = 2 + \frac{4}{5} = 2,8$

Kareköklü Sayıyı $a\sqrt{b}$ Şeklinde Yazma: Kök içindeki sayının çarpanlarından en az birinin tam kare olması gerekir.

Örnek: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{6^2 \times 2} = 6\sqrt{2}$

Kareköklü Sayılarda İşlemler:

• Toplama/Çıkarma: Kök içleri aynı olan terimler toplanabilir. $a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x}$
• Çarpma: $a\sqrt{x} \times b\sqrt{y} = ab\sqrt{xy}$
• Bölme: $\frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}} = \frac{a}{b}\sqrt{\frac{x}{y}}$

İpucu: Toplama ve çıkarma işlemleri için kök içlerinin aynı olması şart!

RASYONEL VE İRRASYONEL SAYILAR

Rasyonel Sayılar: İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılardır ($\frac{a}{b}$, $b \neq 0$).

• Tüm tam sayılar
• Kesirler
• Sonlu ve devirli ondalık sayılar
• Karekökten kurtulabilen sayılar (örn. $\sqrt{9} = 3$) Rasyonel sayılar "Q" harfi ile gösterilir.

İrrasyonel Sayılar: Rasyonel sayı olmayan gerçek sayılardır.

• Karekök dışına çıkmayan köklü sayılar (örn. $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$)
• Devirsiz, sonsuz ondalık sayılar (örn. $\pi$, $e$) İrrasyonel sayılar "İ" harfi ile gösterilir.

Gerçek Sayılar (Reel Sayılar): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir. "R" harfi ile gösterilir.

Not: Sayı doğrusundaki her nokta bir gerçek sayıya karşılık gelir.

VERİ ANALİZİ

Veri görselleştirmesinde kullanılan grafik türleri:

Sütun Grafiği: Verilerin sütunlar halinde gösterilmesidir. Veri gruplarını karşılaştırmak için idealdir.

Çizgi Grafiği: Verilerdeki değişimi gösterir. Özellikle zamana bağlı değişimleri göstermek için kullanılır.

Daire Grafiği: Bir bütünün parçalarının oranlarını gösterir. Merkez açıları toplamı 360°'dir.

Grafik Hazırlarken Dikkat Edilmesi Gerekenler:

• Grafiğe başlık verilmeli
• Eksenlere isim verilmeli
• Sayısal eksen eşit aralıklı olmalı
• Farklı gruplar ayırt edilebilir olmalı

OLASILIK

Temel Kavramlar:

• Deney: Yapılan her işlem.
• Çıktı: Deneyde oluşabilecek her bir durum.
• Olay: Deney sırasında gözlenmek istenen durum.

Olasılık Hesaplama: Olasılık = $\frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Tüm olası durum sayısı}}$

Not: Olasılık değeri her zaman 0 ile 1 arasındadır. 0 imkânsız olayı, 1 kesin olayı gösterir.

Bir olayın olma olasılığı + olmama olasılığı = 1

Eş Olasılık: Her çıktının seçilme şansının eşit olması durumu. Bu durumda her bir çıktının olasılığı $\frac{1}{n}$ olur (n = olası durum sayısı).

CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

Cebirsel İfade: En az bir değişken (bilinmeyen) ve işlem içeren ifadelerdir.

Terim ve Katsayı:

• Terim: Bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımı.
• Katsayı: Terimdeki sayı kısmı.
• Sabit Terim: Değişken içermeyen terim.

Cebirsel İfadelerde Çarpma:

1. Tek terim × tek terim: Katsayılar ve değişkenler ayrı ayrı çarpılır.
2. Tek terim × çok terim: Dağılma özelliği kullanılır. $(a)(b+c) = ab + ac$

Çarpanlara Ayırma: Ortak çarpan parantezine alma en temel yöntemdir. $ax + ay = a(x + y)$

ÖZDEŞLİKLER

Özdeşlikler, değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklerdir.

Tam Kare Özdeşlikleri:

• $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

İki Kare Farkı:

• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Örnekler:

• $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$
• $(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$
• $(2x-1)(2x+1) = 4x^2 - 1$

İpucu: Özdeşlikleri ezberlemek yerine, nasıl elde edildiğini anlayarak çalış. Mesela $(x+y)^2 = (x+y)(x+y)$ şeklinde açılarak bulunabilir.

Cebirsel ifadeler, denklemler ve özdeşlikler arasındaki fark şudur:

• Denklemler sadece belirli değerler için doğrudur.
• Özdeşlikler tüm değerler için doğrudur.

Bu konuları çalışırken bol örnek çözmek ve özellikle işlem becerilerini geliştirmek çok önemlidir. Sınavlarda sorular genellikle bu konuların birbiriyle ilişkilendirilmesiyle sorulur.