Dersler

Kariyer

Uygulamaya git

Dersler

12. Sınıf Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı PDF - Eğlenceli ve Kolay Anlatım!

Açık

1

0

İ

İbrahim Emre Atar

26.07.2024

Matematik

Limit ve süreklilik

Dersler

/

Matematik

12. Sınıf Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı PDF - Eğlenceli ve Kolay Anlatım!

The limit and continuity of functions are fundamental concepts in calculus, essential for understanding the behavior of functions at specific points. This summary covers key aspects of continuity, limit indeterminate forms, piecewise functions, absolute value functions, and limit properties.

Continuity: A function f(x) is continuous at x=a if its limit as x approaches a exists and equals f(a). Conditions for continuity include the function being defined at the point, having a limit at that point, and the limit matching the function value.

Limit indeterminate forms: These are situations where limits cannot be directly evaluated. The 0/0 form can often be resolved using factorization or L'Hospital's rule.

Piecewise functions: For limits of piecewise functions, evaluate the limit from both sides of the critical point. If both sides agree, the limit exists.

Absolute value functions: When dealing with limits of absolute value functions, consider the behavior on both sides of critical points.

Limit properties: Various rules govern limits of sums, differences, products, quotients, and compositions of functions, as well as limits involving roots and logarithms.

...

26.07.2024

337

SÜREKLİLİK y= f(x) fonksiyonunda (im f(x) = f(a) ER se f fonksiyonu x=a noktasında x19 süreklidir. y= f(x) fonksiyonu x=a da sürekli ise; f(

Görüntüle

Limit Indeterminate Forms

When evaluating limits, certain expressions can lead to indeterminate forms, which require special techniques to resolve. One common indeterminate form is 0/0.

Definition: An indeterminate form is a limit expression that doesn't immediately yield a clear result and requires further analysis.

For the 0/0 indeterminate form, two main methods can be employed:

  1. Factoring: Simplify the expression by factoring both numerator and denominator.
  2. L'Hospital's Rule: Apply derivatives to both numerator and denominator.

Example: Consider limx→1x→1 x2−1x² - 1 / x−1x - 1

By factoring, we get:

limx→1x→1 (x−1(x-1x+1x+1) / x−1x-1 = limx→1x→1 x+1x+1 = 2

Alternatively, using L'Hospital's Rule:

limx→1x→1 x2−1x² - 1 / x−1x - 1 = limx→1x→1 2x2x / 1 = 2

Highlight: L'Hospital's Rule is particularly useful for türevin limit tanımı problems and can be applied to various indeterminate forms.

Another important limit to remember is:

limx→0x→0 sinxsin x / x = 1

This limit is fundamental in calculus and trigonometry, often appearing in AYT Matematik Limit Konu Anlatımı PDF resources.

Understanding these techniques for resolving indeterminate forms is crucial for mastering limit ve süreklilik / konu anlatımı özet and tackling complex limit problems.

SÜREKLİLİK y= f(x) fonksiyonunda (im f(x) = f(a) ER se f fonksiyonu x=a noktasında x19 süreklidir. y= f(x) fonksiyonu x=a da sürekli ise; f(

Görüntüle

Piecewise Functions and Absolute Value Functions

Piecewise functions and absolute value functions require special consideration when evaluating limits. These types of functions are common in parçalı fonksiyon limit soruları ve çözümleri.

Piecewise Functions

For a piecewise function defined as:

fxx = { hxx, x ≤ a gxx, x > a }

To find the limit at x = a, we need to evaluate the limit from both sides:

  1. Right-hand limit: limx→a+x→a+ fxx = limx→a+x→a+ gxx
  2. Left-hand limit: limx→a−x→a- fxx = limx→a−x→a- hxx

Definition: The limit exists if and only if both one-sided limits exist and are equal.

limx→ax→a fxx = L if limx→a+x→a+ gxx = limx→a−x→a- hxx = L

Highlight: For piecewise functions, the function doesn't need to be defined at the point of interest for the limit to exist.

Absolute Value Functions

When dealing with limits of absolute value functions:

  1. If x = a is not a critical point, then: limx→ax→a |fxx| = |faa|
  2. If x = a is a critical point, evaluate the limit from both sides.

Example: For |x|, x = 0 is a critical point. We need to evaluate limx→0+x→0+ |x| and limx→0−x→0- |x| separately.

Understanding these concepts is crucial for solving parçalı sürekli fonksiyon örnekleri and parçalı fonksiyon süreklilik soruları.

SÜREKLİLİK y= f(x) fonksiyonunda (im f(x) = f(a) ER se f fonksiyonu x=a noktasında x19 süreklidir. y= f(x) fonksiyonu x=a da sürekli ise; f(

Görüntüle

Limit Properties and Special Limits

This section covers important limit properties and special limits that are essential for solving complex limit problems. These concepts are crucial for fonksiyon limiti and bileşke fonksiyon limiti calculations.

Limit Properties

Let fxx and gxx be functions with limits at x = a:

  1. Sum and Difference: limx→ax→a f(x)±g(x)f(x) ± g(x) = limx→ax→a fxx ± limx→ax→a gxx
  2. Product: limx→ax→a f(x)⋅g(x)f(x) · g(x) = limx→ax→a fxx · limx→ax→a gxx
  3. Quotient iflim[x→a]g(xif lim[x→a] g(x ≠ 0): limx→ax→a f(x)/g(x)f(x) / g(x) = limx→ax→a fxx / limx→ax→a gxx
  4. Constant Multiple: limx→ax→a c⋅f(x)c · f(x) = c · limx→ax→a fxx, where c is a constant

Highlight: These properties form the foundation for evaluating limits of complex functions and are essential for üstel fonksiyon limitleri calculations.

Special Limits

  1. Absolute Value: limx→ax→a |fxx| = |limx→ax→a fxx|
  2. nth Root noddn odd: limx→ax→a ⁿ√fxx = ⁿ√lim[x→a]f(xlim[x→a] f(x)
  3. nth Root neven,assuminglim[x→a]f(xn even, assuming lim[x→a] f(x ≥ 0): limx→ax→a ⁿ√fxx = ⁿ√lim[x→a]f(xlim[x→a] f(x)
  4. Power c>0,c≠1c > 0, c ≠ 1: limx→ax→a cᶠ⁽ˣ⁾ = c^lim[x→a]f(xlim[x→a] f(x)
  5. Logarithm b>0,b≠1,assumingf(xb > 0, b ≠ 1, assuming f(x > 0): limx→ax→a logbf(x)f(x) = logblim[x→alim[x→a fxx]

Example: These properties are particularly useful for solving üslü sayıların limiti problems.

Understanding and applying these limit properties and special limits is crucial for mastering limit ve süreklilik kaçıncı sınıf material and preparing for advanced calculus topics.

SÜREKLİLİK y= f(x) fonksiyonunda (im f(x) = f(a) ER se f fonksiyonu x=a noktasında x19 süreklidir. y= f(x) fonksiyonu x=a da sürekli ise; f(

Görüntüle

Continuity

Continuity is a fundamental concept in calculus, describing the behavior of functions at specific points. A function fxx is considered continuous at a point x=a if it satisfies three key conditions:

  1. The function is defined at x=a
  2. The limit of the function exists as x approaches a
  3. The limit equals the function value at x=a

Definition: A function fxx is continuous at x=a if limx→ax→a fxx = faa and faa is defined.

Mathematically, this is expressed as:

limx→ax→a fxx = faa ∈ ℝ

Highlight: Continuity ensures that there are no "jumps" or "breaks" in the function's graph at the point in question.

Conversely, a function can be discontinuous in three ways:

  1. If fxx is undefined at x=a
  2. If fxx has no limit at x=a
  3. If fxx is defined and has a limit at x=a, but the limit value differs from the function value

Example: Consider fxx = x2−1x² - 1 / x−1x - 1. This function is discontinuous at x=1 because it's undefined there, even though the limit exists.

Understanding continuity is crucial for 12.sınıf limit ve süreklilik konu anlatımı and forms the basis for more advanced calculus concepts.

Aradığını bulamıyor musun? Diğer derslere göz at.

Knowunity, beş Avrupa ülkesinde 1 numaralı eğitim uygulaması!

Knowunity, Apple tarafından büyük ilgi gördü ve Almanya, İtalya, Polonya, İsviçre ve Birleşik Krallık'ta eğitim kategorisinde sürekli olarak en üst sıralarda yer aldı. Hemen Knowunity'e katıl ve dünya çapında milyonlarca öğrenciyle yardımlaş.

Ranked #1 Education App

İndir

Google Play

İndir

App Store

Knowunity, beş Avrupa ülkesinde 1 numaralı eğitim uygulaması!

4.9+

Ortalama Uygulama Puanı

21 M

Öğrenci Knowunity kullanıyor

#1

Eğitim uygulamaları tablosunda 17 ülkede

950 K+

Öğrenci ders notlarını yükledi

Kararsız mısın? Bizi bir de dünyanın dört bir yanındaki kullanıcılarımızdan dinle!

iOS Kullanıcısı

Kesinlikle harika bir uygulama, resmen hayatımı kolaylaştırdı.

Stefan S, iOS Kullanıcısı

Uygulama çok basit ve iyi tasarlanmış. Şimdiye kadar aradığım her şeyi buldum

S., iOS Kullanıcısı

Ba-yıl-dım ❤️, çalışırken neredeyse her an kullanıyorum

Dersler

Matematik

 

Matematik

•

337

•

26 Tem 2024

•

4 sayfa

12. Sınıf Limit ve Süreklilik Konu Anlatımı PDF - Eğlenceli ve Kolay Anlatım!

İ

İbrahim Emre Atar

@ataribrahim

The limit and continuity of functions are fundamental concepts in calculus, essential for understanding the behavior of functions at specific points. This summary covers key aspects of continuity, limit indeterminate forms, piecewise functions, absolute value functions, and limit properties.

Continuity... Daha fazla göster

SÜREKLİLİK y= f(x) fonksiyonunda (im f(x) = f(a) ER se f fonksiyonu x=a noktasında x19 süreklidir. y= f(x) fonksiyonu x=a da sürekli ise; f(

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Limit Indeterminate Forms

When evaluating limits, certain expressions can lead to indeterminate forms, which require special techniques to resolve. One common indeterminate form is 0/0.

Definition: An indeterminate form is a limit expression that doesn't immediately yield a clear result and requires further analysis.

For the 0/0 indeterminate form, two main methods can be employed:

  1. Factoring: Simplify the expression by factoring both numerator and denominator.
  2. L'Hospital's Rule: Apply derivatives to both numerator and denominator.

Example: Consider limx→1x→1 x2−1x² - 1 / x−1x - 1

By factoring, we get:

limx→1x→1 (x−1(x-1x+1x+1) / x−1x-1 = limx→1x→1 x+1x+1 = 2

Alternatively, using L'Hospital's Rule:

limx→1x→1 x2−1x² - 1 / x−1x - 1 = limx→1x→1 2x2x / 1 = 2

Highlight: L'Hospital's Rule is particularly useful for türevin limit tanımı problems and can be applied to various indeterminate forms.

Another important limit to remember is:

limx→0x→0 sinxsin x / x = 1

This limit is fundamental in calculus and trigonometry, often appearing in AYT Matematik Limit Konu Anlatımı PDF resources.

Understanding these techniques for resolving indeterminate forms is crucial for mastering limit ve süreklilik / konu anlatımı özet and tackling complex limit problems.

SÜREKLİLİK y= f(x) fonksiyonunda (im f(x) = f(a) ER se f fonksiyonu x=a noktasında x19 süreklidir. y= f(x) fonksiyonu x=a da sürekli ise; f(

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Piecewise Functions and Absolute Value Functions

Piecewise functions and absolute value functions require special consideration when evaluating limits. These types of functions are common in parçalı fonksiyon limit soruları ve çözümleri.

Piecewise Functions

For a piecewise function defined as:

fxx = { hxx, x ≤ a gxx, x > a }

To find the limit at x = a, we need to evaluate the limit from both sides:

  1. Right-hand limit: limx→a+x→a+ fxx = limx→a+x→a+ gxx
  2. Left-hand limit: limx→a−x→a- fxx = limx→a−x→a- hxx

Definition: The limit exists if and only if both one-sided limits exist and are equal.

limx→ax→a fxx = L if limx→a+x→a+ gxx = limx→a−x→a- hxx = L

Highlight: For piecewise functions, the function doesn't need to be defined at the point of interest for the limit to exist.

Absolute Value Functions

When dealing with limits of absolute value functions:

  1. If x = a is not a critical point, then: limx→ax→a |fxx| = |faa|
  2. If x = a is a critical point, evaluate the limit from both sides.

Example: For |x|, x = 0 is a critical point. We need to evaluate limx→0+x→0+ |x| and limx→0−x→0- |x| separately.

Understanding these concepts is crucial for solving parçalı sürekli fonksiyon örnekleri and parçalı fonksiyon süreklilik soruları.

SÜREKLİLİK y= f(x) fonksiyonunda (im f(x) = f(a) ER se f fonksiyonu x=a noktasında x19 süreklidir. y= f(x) fonksiyonu x=a da sürekli ise; f(

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Limit Properties and Special Limits

This section covers important limit properties and special limits that are essential for solving complex limit problems. These concepts are crucial for fonksiyon limiti and bileşke fonksiyon limiti calculations.

Limit Properties

Let fxx and gxx be functions with limits at x = a:

  1. Sum and Difference: limx→ax→a f(x)±g(x)f(x) ± g(x) = limx→ax→a fxx ± limx→ax→a gxx
  2. Product: limx→ax→a f(x)⋅g(x)f(x) · g(x) = limx→ax→a fxx · limx→ax→a gxx
  3. Quotient iflim[x→a]g(xif lim[x→a] g(x ≠ 0): limx→ax→a f(x)/g(x)f(x) / g(x) = limx→ax→a fxx / limx→ax→a gxx
  4. Constant Multiple: limx→ax→a c⋅f(x)c · f(x) = c · limx→ax→a fxx, where c is a constant

Highlight: These properties form the foundation for evaluating limits of complex functions and are essential for üstel fonksiyon limitleri calculations.

Special Limits

  1. Absolute Value: limx→ax→a |fxx| = |limx→ax→a fxx|
  2. nth Root noddn odd: limx→ax→a ⁿ√fxx = ⁿ√lim[x→a]f(xlim[x→a] f(x)
  3. nth Root neven,assuminglim[x→a]f(xn even, assuming lim[x→a] f(x ≥ 0): limx→ax→a ⁿ√fxx = ⁿ√lim[x→a]f(xlim[x→a] f(x)
  4. Power c>0,c≠1c > 0, c ≠ 1: limx→ax→a cᶠ⁽ˣ⁾ = c^lim[x→a]f(xlim[x→a] f(x)
  5. Logarithm b>0,b≠1,assumingf(xb > 0, b ≠ 1, assuming f(x > 0): limx→ax→a logbf(x)f(x) = logblim[x→alim[x→a fxx]

Example: These properties are particularly useful for solving üslü sayıların limiti problems.

Understanding and applying these limit properties and special limits is crucial for mastering limit ve süreklilik kaçıncı sınıf material and preparing for advanced calculus topics.

SÜREKLİLİK y= f(x) fonksiyonunda (im f(x) = f(a) ER se f fonksiyonu x=a noktasında x19 süreklidir. y= f(x) fonksiyonu x=a da sürekli ise; f(

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Continuity

Continuity is a fundamental concept in calculus, describing the behavior of functions at specific points. A function fxx is considered continuous at a point x=a if it satisfies three key conditions:

  1. The function is defined at x=a
  2. The limit of the function exists as x approaches a
  3. The limit equals the function value at x=a

Definition: A function fxx is continuous at x=a if limx→ax→a fxx = faa and faa is defined.

Mathematically, this is expressed as:

limx→ax→a fxx = faa ∈ ℝ

Highlight: Continuity ensures that there are no "jumps" or "breaks" in the function's graph at the point in question.

Conversely, a function can be discontinuous in three ways:

  1. If fxx is undefined at x=a
  2. If fxx has no limit at x=a
  3. If fxx is defined and has a limit at x=a, but the limit value differs from the function value

Example: Consider fxx = x2−1x² - 1 / x−1x - 1. This function is discontinuous at x=1 because it's undefined there, even though the limit exists.

Understanding continuity is crucial for 12.sınıf limit ve süreklilik konu anlatımı and forms the basis for more advanced calculus concepts.

Aradığını bulamıyor musun? Diğer derslere göz at.

Kullanıcılarımızdan yorumlar. Onlar her şeyi çok beğendi — sen de beğeneceksin.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.

S.L.

Android kullanıcısı

BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅

A.

iOS kullanıcısı

Knowunity'yi keşfedinceye kadar ödevlerimi zamanında tamamlamakta zorlanıyordum, Knowunity sadece kendi ders notlarımı yüklemeyi kolaylaştırmakla kalmıyor, aynı zamanda çalışmamı daha hızlı ve verimli hale getiren harika özetler de sunuyor.

Thomas R

iOS kullanıcısı

Ödevlerim için önemli bilgilerin tümünü bulmak her zaman bir zorluktu - Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, ders notlarımı kolayca yükleyebilir ve başkalarının özetlerinden faydalanabilirim, bu da organizasyon konusunda bana çok yardımcı oluyor.

Lisa M

Android kullanıcısı

Ders çalışırken genellikle yeterince genel bakışa sahip olmadığımı hissederdim, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri bu artık sorun değil - ders notlarımı yüklüyorum ve platformda her zaman yardımcı özetler buluyorum, bu da öğrenmemi çok daha kolaylaştırıyor.

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Sunumlarım için tüm bilgileri toplamak gerçekten zordu. Ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyorum ve başkalarından harika özetler buluyorum - bu da çalışmamı çok daha verimli hale getiriyor!

Julia S

Android kullanıcısı

Tüm çalışma materyalleriyle sürekli stres altındaydım, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyor ve başkalarının harika özetlerine bakıyorum - her şeyi daha iyi yönetmemi sağlıyor ve çok daha az stresli.

Marco B

iOS kullanıcısı

Ödevlerim için doğru materyalleri bulmak her zaman zordu. Şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarından en iyi özetleri alıyorum - her şeyi daha hızlı anlamama yardımcı oluyor ve notlarımı yükseltiyor.

Sarah L

Android kullanıcısı

Eskiden okul materyallerini Google'da aramakla saatler harcardım, ama şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarının faydalı özetlerine bakıyorum - sınavlara hazırlanırken kendimi çok daha güvende hissediyorum.

Paul T

iOS kullanıcısı

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.

S.L.

Android kullanıcısı

BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅

A.

iOS kullanıcısı

Knowunity'yi keşfedinceye kadar ödevlerimi zamanında tamamlamakta zorlanıyordum, Knowunity sadece kendi ders notlarımı yüklemeyi kolaylaştırmakla kalmıyor, aynı zamanda çalışmamı daha hızlı ve verimli hale getiren harika özetler de sunuyor.

Thomas R

iOS kullanıcısı

Ödevlerim için önemli bilgilerin tümünü bulmak her zaman bir zorluktu - Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, ders notlarımı kolayca yükleyebilir ve başkalarının özetlerinden faydalanabilirim, bu da organizasyon konusunda bana çok yardımcı oluyor.

Lisa M

Android kullanıcısı

Ders çalışırken genellikle yeterince genel bakışa sahip olmadığımı hissederdim, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri bu artık sorun değil - ders notlarımı yüklüyorum ve platformda her zaman yardımcı özetler buluyorum, bu da öğrenmemi çok daha kolaylaştırıyor.

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Sunumlarım için tüm bilgileri toplamak gerçekten zordu. Ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyorum ve başkalarından harika özetler buluyorum - bu da çalışmamı çok daha verimli hale getiriyor!

Julia S

Android kullanıcısı

Tüm çalışma materyalleriyle sürekli stres altındaydım, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyor ve başkalarının harika özetlerine bakıyorum - her şeyi daha iyi yönetmemi sağlıyor ve çok daha az stresli.

Marco B

iOS kullanıcısı

Ödevlerim için doğru materyalleri bulmak her zaman zordu. Şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarından en iyi özetleri alıyorum - her şeyi daha hızlı anlamama yardımcı oluyor ve notlarımı yükseltiyor.

Sarah L

Android kullanıcısı

Eskiden okul materyallerini Google'da aramakla saatler harcardım, ama şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarının faydalı özetlerine bakıyorum - sınavlara hazırlanırken kendimi çok daha güvende hissediyorum.

Paul T

iOS kullanıcısı