Türev Alma Örnekleri ve Uygulamalar

Bu sayfada parçalı fonksiyon türevi soruları ve mutlak değerli türev soruları çözümlü olarak sunulmaktadır. Ayrıca, kritik nokta bulma ve fonksiyonlarda kritik nokta kavramları üzerinde durulmaktadır.

Örnek: f(x)=|x-4| fonksiyonunun türevi iki farklı yöntemle incelenmiştir. x=4 noktasında türevin olmadığı gösterilmiştir.

Örnek: F(x)=|(x-2)³| fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevi hesaplanmış ve F'(2)=0 olduğu bulunmuştur.

Kritik nokta bulma konusunda önemli noktalar:

• Türevin sıfır olduğu noktalar kritik noktalardır.
• Mutlak değerli fonksiyonlarda, mutlak değerin içindeki ifadenin sıfır olduğu noktalar kritik noktalardır.

Highlight: Türevlenemeyen noktalar genellikle tek katlı köklerde ortaya çıkar.

Örnek: F(x) = x² + (a-1)x + 4 fonksiyonunun tüm gerçek sayılar için türevlenebilir olması için a'nın alması gereken değer aralığı incelenmiştir.

Son olarak, bileşke fonksiyonların türevi ve zincir kuralı uygulamaları örneklerle gösterilmiştir.

Örnek: g(2x-1) = x·f³(3x-5) fonksiyonunun türevi zincir kuralı kullanılarak hesaplanmıştır.

Parçalı Fonksiyonların ve Mutlak Değerli Fonksiyonların Türevi

Bu sayfada parçalı fonksiyon türevi ve mutlak değerin türevi konuları detaylı olarak ele alınmaktadır. Parçalı fonksiyonların türevlenebilme koşulları açıklanarak, kritik nokta kavramı üzerinde durulmaktadır.

Parçalı fonksiyonların türevi için gerekli koşullar şu şekilde sıralanmıştır:

1. Fonksiyon kritik noktada sürekli olmalıdır.
2. Fonksiyonun sağdan ve soldan türevleri kritik noktada mevcut ve eşit olmalıdır.

Örnek: F(x) = |x| fonksiyonunun x=0 noktasındaki türevi incelenmiştir. Bu noktada türev yoktur çünkü x=0 bir kırılma noktasıdır.

Mutlak değerli fonksiyonların türevi konusunda önemli noktalar şunlardır:

• Türevi istenen nokta kritik nokta değilse, fonksiyonun işaretine göre mutlak değer içinden çıkarılır.
• Türevi istenen nokta kritik nokta ise ve tek katlı kök ise türev yoktur.
• Kritik nokta birden çok katlı kök ise türev vardır ve sıfırdır.

Highlight: Mutlak değerli her fonksiyon parçalı fonksiyon şeklinde yazılabilir.

Örnek: f(x) = |x²-2x+1| fonksiyonunun x=1 noktasındaki türevi incelenmiş ve F'(1)=0 olduğu gösterilmiştir.