Tam Sayılarla İşlemler

Rüzgâr enerjisi, insanlık tarihinde çok eski zamanlardan beri kullanılan bir enerji kaynağı. İnsanlar yaklaşık 5500 yıldır rüzgârın gücünü gemileri hareket ettirmek için kullanıyor. Bu konuda ilk bilimsel çalışmayı yapan Yunan mühendis Heron, MS 1. yüzyılda rüzgâr enerjisini tanımlamıştır.

Tam sayılarla işlemleri anlamak günlük hayatta çok işimize yarar. Toplama işleminde işaretler aynı ise mutlak değerler toplanır ve ortak işaret yazılır. İşaretler farklı ise mutlak değerler çıkarılarak büyük olan sayının işareti yazılır. Örneğin: 5+3=8 $pozitif+pozitif=pozitif$ (-7)+(-4)=-11 $negatif+negatif=negatif$ (-7)+(+4)=-3 $işaretler farklı, büyük olan -7 olduğu için sonuç negatif$

Çıkarma işleminde ise eksilen ile çıkanın zıt işaretlisi toplanır. Örneğin: (+4)-(-3)=(+4)+(+3)=+7

Unutma: Tam sayılarla bölme işleminde, sıfırın bir tam sayıya bölümü sıfırdır, ancak bir tam sayıyı sıfıra bölemeyiz çünkü tanımsızdır.

Çarpma işleminde aynı işaretli sayıların çarpımı pozitif, farklı işaretli sayıların çarpımı negatif olur. Örneğin: (+5)×(+3)=+15 $pozitif×pozitif=pozitif$ (-5)×(-4)=+20 $negatif×negatif=pozitif$ (+7)×(-3)=-21 $pozitif×negatif=negatif$

Tam sayıların kuvvetinde ise durum biraz daha farklı. Pozitif sayıların kuvvetleri her zaman pozitiftir. Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Örneğin: (-3)³=-27, (-3)⁴=+81

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı, b≠0 olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. Bu sayıları Q sembolü ile gösteririz. Rasyonel sayılarla günlük hayatta sürekli karşılaşırız. Mesela 1/2 yarımı, 3/4 ise dörtte üçü ifade eder.

Rasyonel sayılarla toplama işleminde paydalar eşitse paylar toplanır ve payda aynen yazılır. Paydalar eşit değilse ortak paydaya çevrilerek toplanır. Örneğin: 1/2 + 1/3 işleminde, payda eşitlenerek 3/6 + 2/6 = 5/6 bulunur.

Çıkarma işleminde eksilen ile çıkanın toplama işlemine göre tersi toplanır. Örneğin: 3/5 - 1/10 = 3/5 + (-1/10) = 6/10 + (-1/10) = 5/10 = 1/2

Bunu dene: Rasyonel sayıları karşılaştırırken pozitif sayılar negatif sayılardan daha büyüktür. Pozitif sayılarda sıfıra yakın olan daha küçük, negatif sayılarda ise sıfıra yakın olan daha büyüktür.

Çarpma işleminde pay ile pay, payda ile payda çarpılır. Örneğin: (2/3) × (4/5) = (2×4)/(3×5) = 8/15

Bölme işleminde birinci rasyonel sayı ile ikincisinin çarpma işlemine göre tersinin çarpımı yapılır. Örneğin: (3/5) ÷ (5/7) = (3/5) × (7/5) = 21/25

Rasyonel sayıların ondalık gösterimi sonlu veya devirli olabilir. Mesela 3/4 = 0,75 (sonlu ondalık gösterim) veya 1/3 = 0,333... = 0,3 (devirli ondalık gösterim) olur.

Rasyonel sayıların üslü işlemlerinde, sayı pozitifse üs ne olursa olsun sonuç pozitiftir. Negatif sayılarda ise tek üslerde sonuç negatif, çift üslerde pozitif olur. Örneğin: (1/2)² = 1/4, (-1/3)² = 1/9, (-1/3)³ = -1/27

Cebirsel İfadeler ve Denklemler

Matematikte bilinmeyen değerler için genelde x harfini kullanırız. Bu gelenek İslam bilginlerinin matematikte "şey" sözcüğünü kullanmasına dayanır. İspanyollar bu sözcüğü çeviremeyince Yunancadaki "x" harfini kullanmaya başlamışlar!

Cebirsel ifadelerde değişken (veya bilinmeyen), katsayı ve terim kavramları önemlidir. Örneğin 8x ifadesinde, 8x'e "terim", x'e "değişken", 8'e ise "katsayı" denir. 3x+5 ifadesinde ise 3x bir terim, 5 ise sabit terimdir.

Cebirsel ifadelerde toplama işlemi yaparken benzer terimlerin katsayılarını toplarız. Örneğin: $3x+5$ + $7x-2$ = 10x+3 8x-17 + 9x = 17x-17

Not: Cebirsel ifadelerde çarpma yaparken sayılar terimlerin katsayılarıyla tek tek çarpılır. Örneğin: 5$3x+7$ = 15x+35

Cebirsel ifadelerde çıkarma işleminde önce çıkarma işlemi toplamaya çevrilir, sonra toplama kuralı uygulanır: $3x+5$-$2x+3$ = $3x+5$+$-2x-3$ = x+2 $7x-3$-$-5x$ = $7x-3$+$+5x$ = 12x-3

Denklemler, bir bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenin bazı değerleri için sağlanan eşitliklerdir. Denklemlerde eşitliği bozmadan aynı işlemleri iki tarafa da uygulayabiliriz:

• Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir
• Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir

Örneğin: x-3=10 denkleminde, her iki tarafa 3 eklersek x=13 buluruz.

Oran ve Orantı - Yüzdeler

Altın oran, matematikte ve sanatta mükemmel uyumu sağlayan özel bir orandır. Bu oranın değeri yaklaşık 1,618'dir. Doğada birçok yerde görülen altın oranı, Mısırlılar Keops Piramidi'nde, Leonardo da Vinci ise sanat eserlerinde kullanmıştır.

Oran, iki çokluğun karşılaştırılmasıdır. Örneğin 20 kız, 15 erkek öğrencinin bulunduğu sınıfta kızların erkeklere oranı 20/15 = 4/3 olur.

Orantı ise iki oranın eşitliğidir. Mesela a/b = c/d şeklinde gösterilir. Orantının önemli özelliği, içler çarpımının dışlar çarpımına eşit olmasıdır: a×d = b×c

Önemli: Bir orantıda pay ile paydalar yer değiştirse bile orantının değeri değişmez. Ayrıca içler veya dışlar yer değiştirdiğinde de orantı değişmez.

Doğru orantıda iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artar. Örnek: 1 kg elma 5 TL ise, 3 kg elma 15 TL olur.

Ters orantıda ise biri artarken diğeri aynı oranda azalır. Örnek: 2 usta bir duvarı 10 günde örebiliyorsa, 5 usta aynı duvarı 4 günde örer.

Yüzde hesaplamaları günlük hayatta çok işimize yarar:

• % a = a/100 demektir
• Bir çokluğun yüzdesini bulmak için sayı yüzde ile çarpılır
• Örnek: 40 kişilik sınıfın %20'si erkek ise, 40 × (20/100) = 8 erkek öğrenci vardır

Bir çokluğun belirli bir yüzdesi verildiğinde tamamını bulmak için verilen sayıyı yüzdenin payına bölüp 100 ile çarpmalıyız. Örneğin: Portakalların %30'u çürük ve bu 24 tane ise, toplam portakal sayısı 24 ÷ (30/100) = 80'dir.

Doğrular, Açılar ve Çokgenler

Doğrular ve açılar geometrinin temel konularından biridir. Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen ışındır. İç ters açılar, dış ters açılar ve yöndeş açılar paralel doğrularda karşımıza çıkar ve bunların özelliklerini bilmek geometri sorularını çözmede çok işe yarar.

Çokgenlerde kenarların uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olanlara düzgün çokgen denir. Bir çokgenin ardışık olmayan herhangi iki köşesini birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

İşini kolaylaştır: n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı $n-2$×180° formülüyle bulunur. Herhangi bir çokgenin dış açılarının toplamı ise her zaman 360°'dir.

Geometride dörtgenlerin özelliklerini bilmek çok önemlidir:

Paralelkenar: Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eşit olan dörtgendir. Köşegenler birbirini ortalar.

Dikdörtgen: Karşılıklı kenarları paralel ve eşit, köşelerdeki açıları 90° olan dörtgendir. Köşegenler eşit uzunlukta olup birbirini ortalar.

Eşkenar dörtgen: Tüm kenar uzunlukları eşit olan paralelkenardır. Köşegenler dik kesişir.

Kare: Kenar uzunlukları eşit ve açıları dik olan dörtgendir. Köşegenler eşit uzunlukta olup birbirini dik keser.

Yamuk: İki kenarı paralel olan dörtgendir. Yan kenarlarından biri tabana dik olana "dik yamuk", yan kenarları eşit olana "ikizkenar yamuk" denir.

Çember ve daire de geometrinin temel konularındandır. Bir çemberde merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Dairenin alanı πr² formülüyle hesaplanır.

Veri Analizi ve Cisimlerin Görünümleri

Ağustos böceği ile karınca hikâyesi, geleceğe hazırlık yapmanın önemini anlatır. Karınca yazı çalışarak geçirirken, ağustos böceği eğlenerek geçirir. Kış geldiğinde ise karınca hazırlıklıdır ama ağustos böceği zor durumda kalır. Bu hikâye bize planlamanın önemini gösterir.

Veri analizi konusunda öğrendiğimiz daire grafiği, verilerin bir dairenin dilimleri şeklinde gösterilmesiyle oluşur. Daire grafiğinde toplam 360° olacak şekilde her bir veri oranlanarak dilimlerin merkez açıları bulunur.

Çizgi grafiği ise verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların birleştirilmesiyle oluşur. Yatay eksene genellikle zaman yazılır.

Grafikler hayatımızda: Gazetelerde, haberlerde ve birçok alanda çeşitli grafikler görebilirsiniz. Bunları doğru yorumlamak size birçok konuda yardımcı olacaktır.

Verileri analiz ederken kullandığımız bazı temel kavramlar:

Aritmetik ortalama, verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur. Bir grup sayının genel ortalamasını verir.

Tepe değer (mod), bir veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Örneğin: 2, 2, 3, 5, 8, 8, 8, 9, 9 veri grubunda mod 8'dir.

Ortanca değer (medyan) ise veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında ortada kalan sayıdır. Veri sayısı çiftse ortadaki iki sayının ortalaması alınır.

Cisimlerin farklı yönlerden görünümleri ise uzamsal düşünme yeteneğimizi geliştirir. Bir cismin önden, arkadan, sağdan, soldan ve üstten görünümleri farklı olabilir. Aynı cisim farklı açılardan bakıldığında çok farklı görünebilir!