Toplam Sembolü

Toplam sembolü $∑$, bir dizi sayının toplamını kısaca göstermemizi sağlayan matematiksel bir işarettir.

Kullanımı:

• ∑ sembolünün altında başlangıç değeri $k=1 gibi$
• Üstünde bitiş değeri $n gibi$ bulunur
• Ortada yer alan ifade, toplamda kullanılacak formülü gösterir

Önemli Toplam Formülleri:

• 1+2+3+...+n = n$n+1$/2
• 1+3+5+...+2n-1 = n²
• 1²+2²+3²+...+n² = n$n+1$$2n+1$/6
• 1³+2³+3³+...+n³ = $n(n+1)/2$²
• 1+r+r²+...+r^$n-1$ = $1-r^n$/$1-r$
• 1/$1.2$ + 1/$2.3$ + 1/$3.4$ +...+1/$n(n+1)$ = n/$n+1$

Toplam Sembolü Özellikleri:

• ∑ işaretinin alt ve üst sınırları, hangi değerlerin toplamda kullanılacağını belirtir
• Sabit bir c değeri için: ∑c = c × $terim sayısı$ = c × $b-a+1$

Önemli Bilgi: Toplam sembolü hesaplayıcı olarak, ∑ işareti ardışık sayıların belirli bir kurala göre toplanmasını sağlar. Matematik toplama işareti olarak da bilinen bu sembol, karmaşık toplama işlemlerini basitleştirir.

Geometrik Dizi

Geometrik dizi, ardışık iki teriminin oranı sabit olan dizidir. Yani her terim, kendinden önceki terimin belirli bir sayı $r$ ile çarpımıdır.

Temel Kavramlar:

• a₁: İlk terim
• aₙ: Genel terim
• r: Ortak çarpan $oran$

Geometrik Dizinin Özellikleri:

1. Genel terim formülü: aₙ = a₁ × r^$n-1$
2. Ortak çarpan bulma: İki terim verildiğinde: r = ⁿ√$aₖ/aₚ$ n adet aralık için: r = ⁿ√$son terim/ilk terim$
3. Araya terim ekleme: x ile y arasına k tane terim yerleştirilirse: r = ⁿ⁺¹√$y/x$ Burada n = k+1 $aralık sayısı$
4. Geometrik ortalama özelliği: Her terim kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasıdır x, y, z geometrik dizi ise y = √$x·z$
5. İlk n terim toplamı: Sₙ = a₁ × $1-r^n$/$1-r$

Önemli Formül: Geometrik dizi toplam formülü Sₙ = a₁ × $1-r^n$/$1-r$, dizinin ilk n teriminin toplamını kolayca bulmamızı sağlar. Eğer |r| < 1 ise ve n sonsuza giderken, toplam a₁/$1-r$ değerine yaklaşır.

Aritmetik Dizi

Aritmetik dizi, ardışık her iki terimi arasındaki farkın eşit olduğu dizidir. Her terim, kendinden önceki terime sabit bir sayı eklenerek elde edilir.

Temel Kavramlar:

• a₁: İlk terim
• aₙ: Genel terim
• d: Ortak fark

Aritmetik Dizinin Özellikleri:

1. Genel terim formülü: aₙ = a₁ + $n-1$d
2. Ortak fark bulma: İki terim verildiğinde: d = $aₖ - aₚ$/$k-p$ Formülde: d = $son terim - ilk terim$/$aralık sayısı$
3. Araya terim ekleme: x ile y arasına k tane terim yerleştirilirse: d = $y-x$/$k+1$
4. Aritmetik ortalama özelliği: Her terim kendisine eşit uzaklıkta bulunan terimlerin aritmetik ortalamasıdır
5. İlk n terim toplamı: Sₙ = $n/2$$2a₁ + (n-1)d$ = $n/2$$a₁ + aₙ$

Anahtar Formül: Aritmetik dizi toplam formülü Sₙ = $n/2$$a₁ + aₙ$, aritmetik dizilerdeki n terim toplamını bulmada kullanılır. Bu formül, ilk terim ve son terim bilindiğinde toplamı kolayca hesaplamamızı sağlar.

Aritmetik Dizi Uygulamaları

Aritmetik dizilerle ilgili problemleri çözerken genel terim ve toplam formüllerini kullanırız.

Örnek 1: Terim Bulma

• Bir aritmetik dizide ikinci terim 23, üçüncü terim 41 ise 18. terim nedir?
• Çözüm: d = $41-23$/$3-2$ = 18/1 = 18 a₁₈ = a₃ + 15d = 41 + 15×18 = 41 + 270 = 311

Örnek 2: Ortak Fark Bulma

• 5 ile 47 arasına aritmetik dizi olacak şekilde 5 terim yerleştirilirse ortak fark kaçtır?
• Çözüm: 5 terim yerleştirildiğinde 6 aralık oluşur d = $47-5$/6 = 42/6 = 7

Örnek 3: Bilinmeyen Değer Bulma

• Bir aritmetik dizide a₁=5-x, a₂=-x, a₃=11-2x olduğuna göre x kaçtır?
• Çözüm: a₂ = $a₁+a₃$/2 ifadesini kullanarak: -x = $(5-x)+(11-2x)$/2 -x = $16-3x$/2 -2x = 16-3x x = 16

Örnek 4: Terim Sayısı Bulma

• İlk terimi 2, son terimi 42 olan bir aritmetik dizinin terimleri toplamı 242 ise dizinin kaç terimi vardır?
• Çözüm: Sₙ = $n/2$$a₁+aₙ$ 242 = $n/2$$2+42$ 242 = 22n n = 11

Çözüm Tekniği: Aritmetik dizi problemlerinde, genel terim formülü aₙ = a₁ + $n-1$d ve toplam formülü Sₙ = $n/2$$a₁+aₙ$ en sık kullanılan formüllerdir. Problem çözerken önce ortak farkı $d$ bulmalı, sonra gerekli formülleri uygulamalıyız.

Geometrik Dizi Uygulamaları ve Karışık Sorular

Geometrik dizilerle ilgili problemleri çözerken ortak çarpan ve toplam formüllerini kullanırız.

Örnek 1: Terim Bulma

• 4. terimi 12, 9. terimi 384 olan bir geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?
• Çözüm: r = ⁵√$384/12$ = ⁵√32 = 2 a₅ = a₄ × r = 12 × 2 = 24

Örnek 2: Logaritmik Dizi Problemleri

• log₂√3, x, log₂√12 sayıları bir geometrik dizinin ardışık üç terimidir. Buna göre x değeri kaçtır?
• Çözüm: Geometrik dizide: x² = log₂√3 × log₂√12 x² = $1/2$log₂3 × $1/2$log₂$2³×3$ x = √3/2

Örnek 3: Toplam Oranı Problemleri

• Bir geometrik dizide ilk 8 terim toplamının, ilk 4 terim toplamına oranı 82'dir. Bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?
• Çözüm: S₈/S₄ = $a₁(1-r⁸)/(1-r)$/$a₁(1-r⁴)/(1-r)$ = 82 $1-r⁸$/$1-r⁴$ = 82 $1-r⁴$$1+r⁴$/$1-r⁴$ = 82 1+r⁴ = 82 r⁴ = 81 r = 3

Örnek 4: Aritmetik ve Geometrik Dizi Birlikte

• 2x-y, 21, x+17 terimleri hem aritmetik hem de geometrik dizinin ardışık üç terimidir. Buna göre xy çarpımı kaçtır?
• Çözüm: Bu dizi sabit dizi olmalıdır $hem aritmetik hem geometrik$ 2x-y = 21 = x+17 x = 4 ve y = -13 xy = 4×$-13$ = -52

Dikkat Edilmesi Gereken Nokta: Aritmetik ve geometrik dizi formülleri birlikte kullanılırken, eğer bir dizi hem aritmetik hem geometrik ise, bu dizinin sabit dizi olması gerekir. Yani tüm terimler birbirine eşittir. Bu tür sorularda hem aritmetik dizinin ortak farkı d=0, hem de geometrik dizinin ortak çarpanı r=1 olmalıdır.