Matematiğin Temelleri Çember

Alternatif metin:

ve OBH üçgenlerinde Pisagor Teoremi. r² = 1AH1² + 10H12 ° r r² = 10H1² + 1HB12 A H H B H JAHI² + 1041² = 101112 + |HB/² 2 + 10112 JAHIIHBI (QED) Teorem Bir cemberde iki kirişin eşit uzunlukta olması için gerek ve yeter sort, Kirişlerin çemberin merkezinder esit uzakukta olmasidir. D . |AB|= ICD) 10H1 = 10F| A 0 B ispat D H HH r B 10C) ve 10BI youçoplom çizilir. DFC ve OHB üçgenlerinde Pisagor yapius. r² = 10F1² + IFCI² A r² = 10HI² + 1HB)² 10F1² + IFCI² = 10H|2 + |HB)² Hipotez gereğince 10H| = 10F | olduğunder 1FC1 = |HB) our. IDFI = IFCI ve 1AH1=1HB| olduğundan IDCI = IABI bulunur. (QED) Teorem Bir cember de eşit uzunluktaki kirişlerin cemberden ayırdığı yaylorn uzunluklar eşittir. 4 C D LABI = ICD) 1AXBI = ICYDI B ispot C D х B 10A1 = 10B1 = 10C1 = 1001 Fr Gizersek, KKK eşlik teoremi gereğince, OAB = ODC olur. m (ADB) = m (COD) olur. Merkez açı gördüğü yayın derecesine eşit olduğundan, m (AXB) = m (CYD) omp, 1AXBI=ICYDI bulunur. (QED) Teorem Bir gemberde yakın olanın herhangi iki kirişten çemberin merkezine uzunluğu daha büyüktür. C D k F D IOHI>IOFI ED ICDI >|AB| B ispat C Pisagor Teoreminder 10F12² + 1FDI² = 1DDI² N F W D ve IOHI IH BI² = 10B1² ,1ODI velOBI усмаар old. lopl=10B1 = 'dir. D B 10F1² + IFDI² = 10D12 IOHI² + 1HBI² = 10B12 k 10F12-10 HR² + 1FDI² - IHBI² = 0 |04| > | OFI => 10F1²-10HI² <O => IFDI > IHBI => IFD} - IHBI² >0 10H1>10F! => IHB) IFDI Teorem Bir Gemberde paralel iki kiriş arasında kalan yaylerın uzunluk- Lari eşittir. x C ispat х P D C D G A 3 [AB] // [CD] =>IAXC₁ =1BY DI 4 MIDCB)= = 2 dersek m (DCB) = m (CBA) - L olur. Ciaters aciles.) ve ikisi de çevre açıdıc Aalle eşit olduğundan gördükleri yaylorn. da ölçüleri eşittir. (yousina) M (DCB) = m ((BA) - M (BYD) = MLAXC) Teorem Bir Gemberin iç bölgesindeki herhangi bir noktadan en kusa kiriş, copa dik olan kiriştir. P noktası Gemberin iç bölgesinde herhangi bir nokta ve ICDI LIABI ise Pnoktasınden geçen en kisa kiriş |AB|'dir. десел E ispat E لي A י D H B A B F C H |ABINIEFINGHIN .... = {P} ve |AB| |EFI, IABI & IGHI, ... ise H IABI IEF), IAB|<IGHT,... 'dir. Gemberde Açılar ve Yaylar Tanum. Bir açının kenarlarmin bir çember üzerinde ayırdığı yay Parcasına 。 acının gördüğü yay denir. P مامشيت ༥ D A B gorauge yay ADB acısının gördüğü yay ise AXB dir. Tanum Köşesi cemberin merkezinde bulunan açıya merkez açı denir. 3 A m (AOB). = merkez açı Teorem: Bir merkez açımın ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne esittiv. D A B CAOB) = m CÂY B) a o =α İspat: Gembe yayımın 1 'im gören merkez açı 1° lik aal oluşturdu- 360 ğundan, cember yayımın a im gören merkez açımın ölçüsü α°'dir. 360 Dolayısıyla merkez açıyla gördüğü yay esit our. : Tamm Köşesi bir çember üzerinde bulunan ve kenarley olan açıya Gevre açı denir. birer kiriş Teorem: Bir Gevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. P ispat d ܘ܂ A 3 P 3 A m (APB) = 1 m (AXB) IPO1, 1A01, 1031 Kenerley çiziur POA ve POB üçgenlerinde iki is bsi diş teoremin uygularsak m (ADX) = 2x, m(XÔB) = 2y ok. merkez acının ölçüsü gördüğü yaya eşittir teoreminder m(AXB) = 2x+2y bulunur. Tamm Köşesi çemberin üzerinde, bir kenam Gemberin teģeti ve diğer Kenay Gemberin kiriş olan acıya teğet - kiriş açı denir. T ㄨ × B Teorem Teġet - Kiriş açımın ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. İspat ㄨ x 90- 90 T ㄨ B m (ATB) = 1 m (BXT) B IOTI ve IOBI yoncapler çizilir. LOTI LIACI old. m (OTB)=90-α olur. OTB üçgeni ikizkend üagen old. of B = OBT. Bunederle MITOB) = 2α bulunur. Merker açı gördüğü yayın açısına eşittirder; m(TXB)=2α olur. Sonuç Bir cemberde teget-kiriş açının ölçüsü; aynı yayı gören Gevre acının ölçüsüne, mekez aginin ölçüsünün ise yamsına eşittir. Teorem Bir gemberde yoncap, teget değme noktasında tegete diktif. 0. ispat OTA teget kiriş açı ve teġet -kiriş açımın açı ölçüsünün yarısına eşsi gördüğü yayın olduğundan, m (OTA) = 1 ml TXP) Im(FXP) , ITPI=cap M (TXP) = 180°, M (OTA) = 180° = 90° (QEP) Teorem Bir embere disindaki bir noktadon uzunluklar birbirine esittir. IPTI = IPSI .0 P. Gizilen teget parçalarmin ispat ITO1 ve 105) yorçaplam cizilir. P ve o noktaley birleştirilir. IPOl ortak kener, K-K-K EŞLIK Teoremnder IPTI=IPSI bulunur. P Teorem: O merkezli Gembere dışındaki bir P noktasından çiziler teģet- lerin değme noktalom Ives olmak üzere; IPO1, TPS açısının açıortaylows. P ispot T T S 0 0 M (TPO) = m (SPO) IPTI=IPS IOPI ortak keno 10T1=1051= K-K-K eşlik teoreminder PÃO = PSO Es üçgenlerde eşit kendların karşı- sındaki açılo da eşit olacağınder m (TPO) = m(SPO), m (POT) = m (POS) (RED) Tanım: Bir Gemberin iç bölgesinde kesişen iki kirişin oluşturduğu oçiya ia aal denir. ८ K A × B Teorem: Bir Gemberde bir iç açımın ölçüsü, gördüğü yaylamın açı ölçüleri toplamının yarısına eşittir. J A ܘ܂ × B m (AKB) = 1 [m (AXB) + M (CYD)] ispat 5 D 2ẞ 5 D A 2d IACI doğru pocasım cizelim. B m(ACB) = 2, m (CAD) = B ve ve ACB ve CAD ܘ܂ Oc1/01 Gevre acilo old. m (AXB) = 2x m (CYD)=2B m (AKB) = m /AXB) + m (CYD) = 2α +2ẞ (2ED\ 2 2 Teorem: Bir Gemberde bir dış acının ölçüsü, açının gördüğü yay- Larin agi ölçüleri farkının mutlak değerine eşittir. Pa D ispat p पर 4 a D ܘ܂ A B A B ✗ = IADI doğru parçası çizilir. MCCAD) = bm (ADB) = a. iki is ble duston x 29 L+b=a α-a-b 2X-4 = 20-26 2 Teorem Bir Gemberde bir dış açımın iki kenam da Gembere teget ise teget noktalam arasında kalan açı ölçüsü ile bu ous acinin ve diş aalya yakın olan çember yayının ölçüsü birbirini 180° ye tamamle. A P .0 у B t m (APB) + m (AXB) = 180° ispat P 사 .0 y B 2 m (APB) = m (AUB) - m (AXP) m (AYB) = 360 - m (AXB) m(APB) = 360-m (AXB) - m (AXB) 2 m (APB) = 180-m(AXB) m (APB) tm (AXB)=180° Teorem Bir gemberde аум yaylem gören iç açı ve diş açımın ölçüleri toplamı, açıların görd. büyük yayın açı ölçüsüne; for kimin mutlak değeri ise acıların gördüğü küçük yayın açı ölçüsüne eşittir. P A ☑ Έ 0 ༥ m (APB) + m (CED) = m ((YD) Im (CED) -m (APB)| = m/AXB) B ispat A e P B × 0 с D D m (APB) = m (CYD) — M (AXB) b-a° = 2 m(CED) = a+b² 2 m (APB) + m (CED) = 2b²° = b² = CYD 2 Im (CED) -m (APB)| = | 20 |= a=AXB Gemberin Gevresi Toum: Bir Gemberin cevresinin capina or chuna π denir. YouCapi 010 cembern Gevresi G = 2πr'dis. Gemberde yay Uzunluğu Teorem Yarıçap uzunluğu r birim olan bir cemberde, to link merkez açının gördüğü yoyin uzunluğu e, e = 2πtrα" br. 360 ispot 360° lik_yay_uz = 2πTr_br_ise d° lik_yay r d uz. I brdir. 2πr = e 360 e=2πr. 5° a 360° B A e Daire ve Alan Tanım: Bir cember ile bu cemberin iç bölgesinin birleşiminden oluşan noktaların kümesine daire desir. ISPAT Sekildeki gibi O merkezli ve yarıçapının uzunluğu r birim olan daireyi 8 eşit dilime ayıracak olursak bu 8 dilim, kusa Kenary IT.r br olan yaklaşık bir paralelkeno seklinde düzenlenebilir. W r πTr Daire dilim sayısım artırdıkça şekil yaklaşık bir dikdörtgen olacaktır. Πρ ୮ A=πTr. (RED) Daire Diliminin Alani. Tanum: Dairenin iki yarıçapı re belirttiği you arasında kalan bölge Teorem you cop r, merkez acı d° daire dilimi alou = πTr². & 'dir. 360° Ispat A d ૪ જ S B 360° Tir2 360°.5 = πTr². de - S S = πr²α olur. 360°