Üçgende Açılar

Üçgen, geometri derslerinin temel yapı taşlarından biridir. Birçok geometri sorusunu çözebilmek için üçgenlerin özelliklerini çok iyi bilmek gerekir.

Bir üçgende iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir. Bu, her türlü üçgen için geçerli olan değişmez bir kuraldır. İç açıların toplamının sabit olması, bir üçgenin açılarını hesaplarken sıkça kullanacağın bir özelliktir.

Üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı ise 360° dir. Bir dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Bu özellik özellikle karışık geometri sorularında faydalıdır.

İpucu: Bir üçgenin herhangi bir açısını bilmiyorsan, diğer iki açıyı kullanarak bulabilirsin. Mesela A + B + C = 180° formülünden, C = 180° - $A + B$ hesaplamasını yapabilirsin.

İkizkenar ve Eşkenar Üçgenler

İkizkenar üçgen, iki kenarı eşit olan üçgen türüdür. İki kenarın eşit olması $|AB| = |AC|$, karşılarındaki açıların da eşit olması anlamına gelir. Ayrıca bu tür üçgenlerde, eşit kenarlara inen yükseklikler, açıortaylar ve kenarortaylar da birbirine eşittir.

İkizkenar üçgenlerde;

• Eğer |AB| = |AC| ise, |BE| = |DC| olur
• h = PD + PE formülü geçerlidir
• Alan(ABC) = $\frac{b.c}{2}$ şeklinde hesaplanabilir

Eşkenar üçgen ise üç kenarı da birbirine eşit olan özel bir üçgendir. 30°-60°-90° üçgenleri, geometri sorularında sıklıkla kullanılır.

Eşkenar üçgende;

• Bütün açılar 60° dir
• h = |PD| + |PE| + |PF| formülü kullanılabilir
• Üçgenin iç teğet çemberinin merkezi, üçgenin açıortaylarının kesişim noktasıdır

Üçgende açıortay, bir köşeden karşı kenara çizilen ve köşedeki açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Kenarortay ise bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.

Not: İkizkenar üçgende tepe noktasından inen yükseklik aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır. Bu özellik, soru çözümlerinde zaman kazandırır!

Üçgende Alan ve Benzerlik

Üçgenin alanını hesaplamak için birden fazla formül kullanabilirsin. En yaygın olanı taban × yükseklik formülüdür:

Alan(ABC) = $\frac{a.h_a}{2}$

Kenarlar ve açılar yardımıyla: Alan(ABC) = $\frac{b.c.sinα}{2}$

Heron formülü ile $u = çevre/2 olmak üzere$: Alan(ABC) = $\sqrt{u.(u-a).(u-b).(u-c)}$

Çevrel çember yarıçapı (R) kullanılarak: Alan(ABC) = $\frac{a.b.c}{4R}$

Üçgenlerde benzerlik, geometri problemlerinde sıkça kullanılan bir kavramdır. Benzer üçgenler, açıları eşit olan üçgenlerdir.

Benzerlik kuralları:

1. Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir.
2. Kenar-Açı-Kenar Benzerliği: İki üçgenin birer açıları ve bu açıları oluşturan kenarlarının oranları eşitse, üçgenler benzerdir.
3. Kenar-Kenar-Kenar Benzerliği: Kenarları birbirine orantılı olan üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: $\frac{Alan(ABC)}{Alan(DEF)} = k^2$

Önemli! Thales teoremi ve kelebek benzerliği, paralellik ile benzerlik arasında ilişki kurar. Bu teoremler, paralel doğruların orantılı uzunluklarda kesmesi prensibine dayanır.

Doğrunun Analitik İncelenmesi

Koordinat düzleminde çalışmak, geometri problemlerini cebirsel olarak çözmenin etkili bir yoludur. İşte temel kavramlar:

İki nokta arası uzaklık formülü: $|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$

Doğru parçasının orta noktası: $x_0 = \frac{x_1+x_2}{2}$, $y_0 = \frac{y_1+y_2}{2}$

Bir üçgenin ağırlık merkezi G(a,b) ise: $a = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}$, $b = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}$

Doğrunun eğimi (m), doğrunun x ekseni ile yaptığı açının tanjantıdır:

• İki noktadan geçen doğrunun eğimi: $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
• y = ax + b doğrusunun eğimi: m = a
• ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi: $m = -\frac{a}{b}$

İki doğrunun birbirine göre durumları:

• Doğrular paraleldir: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
• Doğrular çakışıktır: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
• Doğrular bir noktada kesişir: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Bir noktanın bir doğruya uzaklığı: $h = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Pratik Bilgi: İki doğru arasındaki açının tanjantını hesaplarken, $\tan \alpha = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1.m_2}|$ formülünü kullanabilirsin. Buradaki α, iki doğru arasındaki dar açıdır.

Dörtgenler

Dörtgenler, dört kenarlı kapalı şekillerdir ve hayatın her alanında karşımıza çıkar. Bilmen gereken temel özellikler:

• Bir dörtgenin iç açılarının toplamı 360° dir
• Dış açılarının toplamı da 360° dir

Dörtgenin alanını köşegenler yardımıyla hesaplamak için: $A(ABCD) = \frac{e.f.sinα}{2}$ (e ve f köşegen uzunlukları, α aralarındaki açı)

Köşegenleri dik kesişiyorsa: $A(ABCD) = \frac{e.f}{2}$

Yamukta özel durumlar:

• İkizkenar yamukta karşılıklı olmayan kenarlar eşittir
• Dik yamukta iki komşu kenar birbirine diktir
• Yamuğun alanı: $A(ABCD) = \frac{(a+c).h}{2}$ (a ve c paralel kenarlar, h yükseklik)

Orta taban (yamuğun paralel kenarları arasındaki paralel doğru) uzunluğu: $|EF| = \frac{a+c}{2}$

İpucu: Bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birleştirdiğinde her zaman bir paralelkenar elde edersin. Bu özellik, birçok geometri probleminde işine yarayabilir!

Özel Dörtgenler

Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel ve eşit olan dörtgendir. Özellikleri:

• Karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir
• Karşılıklı açılar eşittir
• Köşegenleri birbirini ortalayarak keser
• Alanı: A(ABCD) = a.h (a taban, h yükseklik)

Eşkenar dörtgen, tüm kenarları eşit uzunlukta olan paralelkenardır:

• Paralelkenarın tüm özelliklerini taşır
• Köşegenleri açıortaydır ve birbirine diktir
• Yükseklikleri eşittir

Dikdörtgen, tüm açıları 90° olan paralelkenardır:

• Çevresi: Ç(ABCD) = 2.$a + b$
• Alanı: A(ABCD) = a.b
• Köşegenleri eşit uzunlukta ve birbirini ortalayarak keser

Deltoid (uçurtma), ardışık iki kenarı eşit olan dörtgendir:

• |AB| = |AD| ve |BC| = |CD|
• Köşegenlerden biri açıortaydır ve diğerine diktir
• Alanı: A(ABCD) = $\frac{|AC|.|BD|}{2}$

Kare, bütün kenarları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgendir:

• Dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin tüm özelliklerini taşır
• Köşegenleri eşit uzunlukta, birbirine dik ve açıortaydır
• Alanı: A(ABCD) = a²

Bilgi: Karede köşegenler birbirine diktir ve karşılıklı köşeleri birleştiren köşegenler açıortaydır. Bu özellik, kareyle ilgili problemleri çözerken çok işine yarayacak!

Çokgenler

Konveks çokgenlerin (içine doğru çökmeyen çokgenler) önemli özellikleri:

1. İç açıların toplamı: $(n-2).180°$ (n: kenar sayısı)
2. Dış açıların toplamı: $360°$
3. Köşegen sayısı: $\frac{n.(n-3)}{2}$
4. Bir köşeden en fazla $(n-3)$ köşegen çizilebilir

Düzgün konveks çokgenler tüm kenarları ve tüm iç açıları eşit olan çokgenlerdir. Özellikleri:

• Bir dış açının ölçüsü: $\frac{360°}{n}$
• Bir iç açının ölçüsü: $\frac{(n-2).180°}{n}$
• Hem çevrel hem de iç teğet çemberleri vardır
• Çevrel çember merkezi, iç teğet çember merkezi ve ağırlık merkezi aynı noktadır

Düzgün altıgen ve düzgün sekizgen, sıkça karşılaşılan düzgün çokgenlerdir:

Düzgün altıgenin özellikleri:

• Bir iç açısı 120°, bir dış açısı 60°dir
• Karşılıklı kenarlar paraleldir
• Karşı köşeleri birleştiren köşegenler açıortaydır ve eşit uzunluktadır
• Alan: A(ABCDEF) = $6.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Düzgün sekizgende:

• Karşılıklı kenarlar paraleldir
• Karşılıklı köşeleri birleştiren köşegenler açıortaydır ve eşit uzunluktadır

Hatırlatma: Düzgün çokgenlerde kenar sayısı çift ise karşılıklı kenarlar paraleldir. Kenar sayısı tek ise, bir köşeden karşı kenara çizilen dikme hem kenarortay hem de açıortaydır.

Çemberde Açılar

Çember, bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir. Çemberde açılar konusu, geometri sorularının vazgeçilmez bir parçasıdır.

Temel açı türleri:

1. Merkez açı: Çember merkezinde oluşan açı
2. Çevre açı: Çember üzerindeki bir noktada oluşan açı
3. Teğet-kiriş açı: Çembere teğet bir doğru ile bir kirişin oluşturduğu açı

Önemli ilişkiler:

• Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının 2 katıdır
• Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir
• Çapı gören çevre açı 90°dir
• Aynı yayı gören çevre açı ile teğet-kiriş açının ölçüsü eşittir

İç açı ve dış açı formülleri:

• İç açı: $α = \frac{a+b}{2}$
• Dış açı: $α = \frac{a-b}{2}$

Kirişler dörtgeninde karşı açıların toplamı 180° dir.

Önemli Not: Eşit uzunluktaki kirişler, çemberden eş yaylar ayırır ve paralel iki kiriş arasında kalan yayların ölçüleri birbirine eşittir. Bu bilgi, çemberle ilgili birçok problemi çözmeni sağlayacak.

Çemberde Uzunluk ve Alan

Çemberle ilgili uzunluk hesaplamalarında kullanacağın temel bilgiler şunlardır:

• Çapı dik kesen kiriş, o kirişi iki eşit parçaya böler
• Eşit uzunluktaki kirişler, merkezden eşit uzaklıktadır
• Bir noktanın çembere göre kuvveti: |PA|·|PB| = |PC|·|PD|
• Teğet durumunda: |PT|² = |PA|·|PB|

Dairede alan hesaplamalarında kullanacağın formüller:

• Dairenin alanı: $\pi r^2$
• Dairenin çevresi: $2\pi r$
• Daire diliminin alanı: $\frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2$
• Daire yayının uzunluğu: $\frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi r$
• Daire kesiminin alanı: $\frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 - \frac{|AB|}{2}$

Benzerlik ve alan oranları: Benzer şekillerin alan oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Dikkat! Bir noktanın çembere göre kuvveti, geometri sorularında sıkça kullanılan bir kavramdır. Bu kavram, çember dışındaki bir noktadan çembere çizilen kesen doğrularla ilgili bir özelliktir.

Üç Boyutlu Cisimler

Üç boyutlu cisimlerin alan ve hacim formüllerini bilmek, geometrinin pratik uygulamaları için çok önemlidir.

Prizmalarda:

• Yanal alan = Taban çevresi × Yükseklik
• Toplam alan = Yanal alan + 2 × Taban alanı
• Hacim = Taban alanı × Yükseklik

Dikdörtgenler prizmasında:

• Cisim köşegeni: |LB| = $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
• Yanal alan: 2$a + b$.c
• Toplam alan: 2$ab + ac + bc$
• Hacim: V = a.b.c

Küpte:

• Yüzey köşegeni: a$\sqrt{2}$
• Cisim köşegeni: a$\sqrt{3}$
• Alan: A = 6.a²
• Hacim: V = a³

Silindirde:

• Yanal alan: 2πrh
• Toplam alan: 2πrh + 2πr² = 2πr$h+r$
• Hacim: V = πr²h

Konide:

• Yanal alan: πrs (r: taban yarıçapı, s: yanal yükseklik)
• Toplam alan: πrs + πr²
• Hacim: V = $\frac{1}{3}$πr²h

Kürede:

• Alan: A = 4πr²
• Hacim: V = $\frac{4}{3}$πr³

Pratik Bilgi: Üç boyutlu cisimlerin hacimlerini hesaplarken, önce taban alanını bulup sonra yükseklikle çarpmak işini kolaylaştırır. Piramit ve konide bu değerin 1/3'ünü alman gerektiğini unutma!